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Mescolare le carte come veribari

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Pubblicato da eliacalderan su dicembre 11, 2012

Quesito della mattina:

“Se ho un mazzo di carte francesi non ordinate, qual è la probabilità che, mescolandole, queste tornino ad essere odinate?”

Detta così, la riposta che viene data è la seguente: sensa sapere come vengono mescolate, né quante volte vengono mescolate, la risposta è ” 1/52! “; perché? La risposta viene data nel modo seguente: im mazzo può essere visto come una serie di carte [distinte] numerate da 1 a 52, quante disposizioni di carte possiamo formare? In cima al mazzo possiamo avere una qualsiasi delle 52 carte, immediatamente sotto una delle rimanenti 51, al terzo posto una delle altre 50 etc etc, quindi le scelte possibili sono:

Questo numero, formato dalla moltiplicazione di tutti i numeri consecutivi da 1 a 52 è detto 52! (“cinquantadue fattoriale” o “cinquantadue bang”, come vorrebbe un simpatico professore americano), quanto vale? Beh tanto: ha 67 cifre. Ora, una volta finito di mescolare, vi ritrovate in una situazione in cui le carte sono in uno dei 52! ordini possibili. Quindi la probabilità che esse si trovino esattamente nell’ordine giusto è:

Ovvero 0,0…01.. con 67 zeri davanti. Diciamo che è veramente bassa [1]. Vediamo di migliorare la domanda (nessuno mescola perfettamente “a caso” e per un tempo infinito le carte). Quando qualcuno mescola un mazzo di carte, divide il mucchio in due pile di carte e poi infila le carte di una pila nell’altra. Le due condizioni che influenzano una mescolata sono quindi:

Una smazzata da bari

Incominciamo con un metodo di mescolare le carte molto semplice (chiamata Faro dai prestidigiatori – per scrivere la parola, forse giusta, l’ho dovuta pronunciare 4-5 volte):

Graficamente, numerando le carte, il mazzo iniziale:

diventa:

Abbiamo realizzato quella che viene chiamata, in matematica, una permutazione dell’insieme iniziale. Vediamo che nelle posizioni dispari arrivano le carte provenienti dal semimazzo superiore, in quelle pari le carte del semimazzo inferiore [2]. La domanda è la seguente:

“Se uno fosse veramente bravo da riuscire a fare senza errori una serie di mescolate del genere, dopo quante mescolate le carte torneranno in ordine?”

Per rispondere a questa domanda dobbiamo fare qualche passo indietro. Ogni permutazione può essere scomposta osservando il viaggio che fanno i vari numeri ogni volta che viene applicata. Esempio: 2 va nella terza posizione, alla successiva mescolata andrà nella quinta, poi nella nona e così via. L’insieme delle posizioni che percorre 2 durante le varie mescolate prende il nome di orbita di 2. Questo può essere fatto per tutte le posizioni. Una proprietà fondamentale delle orbite è che se un numero x appartiene all’orbita di un numero y , allora vale anche il viceversa: y appartiene all’orbita di x . Vediamo con l’esempio dell’1, la sua orbita è:

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